Calcul de puissances - Corrigé

Énoncé

Utiliser la forme trigonométrique pour calculer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. \(z_1=(1-i)^{10}\)

2. \(z_2=(4-4\sqrt{3}i)^{8}\)

Solution

1. On a :  \(z_1=z^{10}\) avec \(z=1-i\) . Ainsi, \(\left\vert z_1 \right\vert = \left\vert z \right\vert^{10}\) et \(\arg(z_1) \equiv 13 \arg(z) \ [2\pi]\) .

Déterminons la forme trigonométrique de \(z\) .
On a : \(\left\vert z \right\vert=\left\vert 1-i \right\vert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)
et donc 
\(\begin{align*}z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{-\pi}{4}+i\sin\frac{-\pi}{4}\right)\end{align*}\)
donc \(\left\vert z \right\vert = \sqrt{2} \,\text{et} \arg(z) \equiv \dfrac{-\pi}{4} \ [2\pi]\) .
On en déduit que \(\left\vert z_1 \right\vert = (\sqrt{2})^{10}=2^5=32\)   et  \(\arg(z_1) \equiv 10 \times \dfrac{-\pi}{4}\equiv \dfrac{-\pi}{2} \ [2\pi]\) .

Par conséquent :
\(\begin{align*}z_1& = 32\left(\cos\frac{-\pi}{2}+i\sin\frac{-\pi}{2}\right)=32\left(0+i \times (-1) \right)=-32i.\end{align*}\)

2. On a :   \(z_2= (4-4\sqrt{3}i)^{8} = (4(1-\sqrt{3}i))^{8} = 4^{8} \times (1-\sqrt{3}i)^{8}= 4^{8} \times z^{8} avec z=1-\sqrt{3}i\) .

Ainsi  \(\left\vert z_2 \right\vert = 4^8 \left\vert z \right\vert^8\)  et   \(\arg(z_2) \equiv \arg(4^8) + \arg(z^8) \equiv 8 \arg(z^8) [2\pi]\) .

Déterminons la forme trigonométrique de \(z\) .
On a : \(\left\vert z \right\vert=\left\vert 1-\sqrt{3}i \right\vert=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\)
et donc :
\(\begin{align*}z=2\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\left(\cos\frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right)\end{align*}\)
donc \(\left\vert z \right\vert = 2\) et \(\arg(z) \equiv \dfrac{-\pi}{3} \ [2\pi]\) .
On en déduit que \(\left\vert z_2 \right\vert = 4^8 \times 2^8= 8^8\) et  \(\arg(z_2) \equiv 8 \times \dfrac{-\pi}{3}\equiv \dfrac{-2\pi}{3} \ [2\pi]\) .

Par conséquent :
\(\begin{align*}z_2& = 8^8\left(\cos\frac{-2\pi}{3}+i\sin\frac{-2\pi}{3}\right)=8^8\left(-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)= - \frac{8^8}{2} - \frac{8^8 \sqrt{3}}{2} i.\end{align*}\)